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Wellenmechanisches Atommodell - Schrödinger-Gleichung
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zitrone



Anmeldungsdatum: 25.08.2004
Beiträge: 55
Wohnort: Jena

BeitragVerfasst am: 25. Aug 2004 20:28    Titel: Wellenmechanisches Atommodell - Schrödinger-Gleichung Antworten mit Zitat

heyho.. wollt mal fragen ob mir jemand die "schrödinger-gleichung" verraten kann. hat so weit ich weiß ja was mit den wellenmechanischen atommodell zu tun und mit den ganzen quantenzahlen..

wär kuhl.. schonma thx!

Tanzen
Thomas
Administrator


Anmeldungsdatum: 16.02.2004
Beiträge: 479

BeitragVerfasst am: 25. Aug 2004 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

die Schrödingergleichung findest du hier: http://www.chemikerboard.de/lexikon/Schr%F6dingergleichung,erklaerung.htm

Hast du Fragen dazu?

Gruß,
Thomas
zitrone



Anmeldungsdatum: 25.08.2004
Beiträge: 55
Wohnort: Jena

BeitragVerfasst am: 27. Aug 2004 19:56    Titel: Antworten mit Zitat

nein keine fragen. ich geb zu dass ich eh nicht wirklich versteh worums da geht. nur eben dass es was mit atomspektren zu tun hat. im großen und ganzen hab ich die nur gebraucht weil ich ein zeichen daraus nicht in der zeichentabelle auf meinem pc gefunden hab..

bin jetzt 11. klasse, leistungskurs chemie hat gerade erst angefangen, man kann also noch nicht zu viel von mir erwarten.. Augenzwinkern aber spaß macht's trotzdem. hehe..
Jevawty



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 10
Wohnort: Sharazul J'neld

BeitragVerfasst am: 04. Nov 2004 20:08    Titel: Antworten mit Zitat

haaaalt ... aber ich kann dafür verwendung finden

...haltet mich für blöd aber ich komm überhaupt nich mit den diversen übers internet verteilten definitionierten erklärungen für

- die schrödinger gleichung
- die orbitaltheorie

und allem was dazugehört , klar

und ich idiot hab mir ein referat über orbitaltheorien auf den hals gehängt

nunja ich brauch irgendwie etwas das man verstehen kann ums weiterzuerklären ... DANKE traurig

anhang : bin im chemie grundkurs 12.klasse 1.semester

_________________
was mich nicht umbringt , macht mich nur noch stärker

-nietsche
Jevawty



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 10
Wohnort: Sharazul J'neld

BeitragVerfasst am: 04. Nov 2004 22:19    Titel: Antworten mit Zitat

hey - macht mal halblang und lasst den streit einfach

BITTE !

ich wollte doch nur verstehen (ja ich habe dieses seltene nötige interesse)
was die orbitaltheorie im speziellen ist

das es die ungefähren aufenthaltsraume der e- angibt weis ich noch
und das das so gemacht wurde weil der herr schrödinger mit seiner mir unverständlichen gleichung rausbekommen hat dass man entweder den aufenthalsort oder den impuls aber nie beides gleichzeitig bestimmen kann hab ich auch verstanden

aber
die gesammelten gleichungen darumherum würde ich bevorzugt auch gern noch verstehen - und darum hab ich hier weitergeschrieben

die komischen angaben der verschiedenen orbitale habbich auch nich so ganz inne

und wenn ihr trotz streitereien mir das erklären könntet wär ich super dankbar


anhang : die infos eurer beidseitigen besserwisserei - interessieren mich übrigens auch Augenzwinkern

_________________
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-nietsche
Michael aus Nbg



Anmeldungsdatum: 12.08.2004
Beiträge: 1927
Wohnort: Nürnberg

BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 06:48    Titel: Antworten mit Zitat

@sunny und @EtOH: Nu kommt mal wieder runter, Beleidigungen bringen nichts und ein Streit zerstört nur dieses Forum

@ p16INk4a: Diese Forum soll Schülern und anderen die sich für Chemie interessieren helfen Antworten zu finden. Da nützen solche Kommentare wit "Das kapierst du in der 11 doch eh net" auch nicht weiter. Besser wäre es da mal nachzufragen, wie tief in die Materie eingegangen werden soll, bzw. wie Oberflächlich die Antwort reicht.
Wenn hier jeder der eine einfache Antwort haben möchte warum etwas so ist sich plötzlich mit Quantenphysik und dergleichem rumärgern muß, wird er

1. diese Board nicht mehr besuchen
2. das Interesse an der Chemie verlieren

Ich gehe mal davon aus, das Du Dich in irgendeiner Art und Weise für die Chemie interessierst und dies wahrscheinlich auch weitervermitteln möchtest. Sollte dem so sein, dann kann es nicht dein Ziel sein fragende zu verwirren oder Ihnen die Lust an der Chemie zu nehmen.

--> Nicht erst drauf hauen a´la "Du bist eh zu blöd dafür" sondern ruhig an die Sache rangehen und erstmal abklopfen was an Wissen da ist um dann in die Tiefe zu gehen. Solltest du diese Regel beherzigen, so könntest du zu einem gern gesehenen Gast werden. Wenn nicht denke ich werden deine Beiträge weiterhin gelöscht und du ignoriert. Weil es NIEMANDEM hilft wenn hier Streit oder Besserwisserei aufkommt!

In diesem Sinne Michael

PS: Ich habe sehr lange darüber nachgedacht ob und was ich hier schreibe. Wenn mich jemand deswegen Ohrfeigen, beschimpfen oder sonstiges möchte, so soll er dies bitte per PN machen. Solche sachen gehören nicht ins Forum!

_________________
http://www.world-of-smilies.com/wos_sonstige/benutze9nn0.gif
EtOH



Anmeldungsdatum: 22.10.2004
Beiträge: 3367
Wohnort: leverkusen/köln

BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 10:35    Titel: Antworten mit Zitat

@ sunny: danke! smile

@ michael: ich sehs genauso wie du... Augenzwinkern
Gast






BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 15:12    Titel: Antworten mit Zitat

@ p16INK4a:

ich vermute mal das statement von EtOH liest sich für dich genauso arrogant wie deins für zitrone. vermutlich war es das was EtOH dir damit vermitteln sollte (ich kenn' den EtOH, so nebenbei)...

by the way: ich hab' vor weniger als 2 stunden ein paar schülerstudenten eben gerade das beigebracht, schrödingergleichung, wahrscheinlichkeitsdichten, und wellenmechanisches atom- bzw. orbitalmodell. man muss halt 'nen sack geduld mitbringen und berücksichtigen dass die jungs und mädels halt wenig voraussetzungen mitbringen... so what?
ist gut gelaufen, und die haben alle verständnisfragen beantworten können (z.B. welchen wert das integral über die radiale wahrscheinlichkeitsdichte von null bis plus unendlich haben muss...)

ich für meinen teil find's halt einfach schade, lieber p16INK4a, dass die leute, die mehr leisten wollen als die müssen -- und zitrone sieht mir so aus wie einer -- oft an leute geraten die sie ausbremsen... und das nur weil man in der 11. klasse oder so halt nicht wissen kann, was ein nabla-operator ist. (dann muss man's denen halt beibringen, oder den stoff ohne nabla vermitteln, was erfahrungsgemäss möglich ist...)

bis die tage dann.
Jevawty



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 10
Wohnort: Sharazul J'neld

BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 15:15    Titel: Antworten mit Zitat

hoffentlich klappt dann diesmal

also nochmal

... ich brauch hilfe und ihr dürft mir alles erlklären smile ...

es ist mir egal was ich dabei alles lerne
und wenn dafür eigentlich nen prof. titel brauch -> EGAL
ich hab interesse und eine schale voller intelligenzquanten
also immer her damit und vor allen dingen -> D A N K E

... auf das ich diesmal was anderes als krieg schaffe

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-nietsche
topspin



Anmeldungsdatum: 05.11.2004
Beiträge: 122
Wohnort: köln

BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 15:53    Titel: Antworten mit Zitat

also, für zitrone und jevawty --

atome und subatomare teilchen (kleiner als ein atom, z.b. elektronen, protonen, ...) müssen quantenmechanisch beschrieben werden, wenn man's vernünftig machen will. deshalb nämlich weil sie so klein sind, dass der welle-teilchen-dualismus wichtig wird. atome, elektronen, protonen usw. sind also gleichzeitig wellen und teilchen. die wichtigste gleichung der quantenmechanik ist halt die berühmte schrödinger-gleichung:

H Psi = E Psi

... dabei ist H der sogenannte hamilton-operator, Psi die wellenfunktion, und E die energie des systems (z.b. eines elektrons im atom). das elektron im wasserstoffatom (genauer gesagt, sein zustand) wird also durch eine wellenfunktion Psi beschrieben, die, vereinfacht gesagt, jedem punkt im raum eine bestimmte wahrscheinlichkeit zuordnet, mit der das elektron eben da ist oder nicht. man muss das deshalb so machen, weil das elektron eben gleichzeitig welle und teilchen ist, und aufgrund seiner welleneigenschaften halt mit bestimmten wahrscheinlichkeiten entweder da ist, oder da, oder da nicht... ;-)
natürlich ist das in wirklichkeit alles viel komplizierter. besonders die wellenfunktion ist eine mysteriöse angelegenheit. man kann sich aber mit gutem gewissen die wellenfunktion Psi als eine art orakel vorstellen (als ein verdammt gutes orakel), dem man fragen stellen kann, und es antwortet. die fragen, die man dem orakel stellt, werden in der quantenmechanik durch operatoren (z.b. den hamilton-operator) repräsentiert: man stellt dem Psi eine frage, indem man den operator darauf anwendet (linke seite der schrödinger-gleichung), und das orakel antwortet mit einer zahl (rechte seite, E), die natürlich von der frage (dem operator) abhängt. speziell fragt der hamilton-operator H nach der energie E des systems, es gibt aber noch andere operatoren wie impuls-, orts-, spin-operator, usw...

so, was soll das jetzt alles? wie gesagt, das Psi in der schrödinger-gleichung beschreibt den zustand des systems, also z.b. den des elektrons des wasserstoffatoms. wenn man sagt man löst die schrödinger-gleichung heisst das, man sucht dasjenige Psi, für das die schrödinger-gleichung erfüllt ist. anders gesagt: man sucht sich das passende orakel (unter vielen möglichen) dass die richtige antwort (E) auf die gestellte Frage (H) liefert.
das orbital, das man ja aus den vielen bunten bildchen kennt (z.b. das 1s-orbital, das ja aussieht wie eine kugel) ist dann einfach die graphische darstellung von Psi, genauer gesagt, vom quadrat von Psi. und, wie gesagt, Psi gibt quasi die wahrscheinlichkeit an, mit dem ein elektron an einem bestimmten punkt im raum da ist oder nicht. die üblichen darstellungen von orbitalen geben etwa 90% bis 99% der aufenthaltswahrscheinlichkeit des elektrons an, und genau dasselbe gilt auch für alle anderen orbitale (p, d, f, g, ...).
das ist halt ungefähr das was mit dem wellenmechanischen oder orbitalmodell gemeint ist: die zustände der elektronen, insbesondere ihre energie E, werden durch die schrödinger-gleichung beschrieben. wenn man diese löst kriegt man die wellenfunktionen Psi raus, die den zustand der elektronen beschreibt, und dabei gleichzeitig den welle-teilchen-dualismus berücksichtigt. orbitale sind also die graphischen darstellungen der wellenfunktionen, die den zustand der elektronen in den atomen angeben.

so weit vielleicht für's erste. ob euch das weiterhilft weiss ich halt nicht, aber ohne 'ne tafel und vernünftige bildchen ist das nicht einfach (ist es halt auch allgemein nicht).

grüsse aus der theoretischen chemie,
cu

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Thomas
Administrator


Anmeldungsdatum: 16.02.2004
Beiträge: 479

BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 18:25    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

ich hab hier mal etwas aufgeräumt.

Gruß,
Thomas
Gast






BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 19:08    Titel: Antworten mit Zitat

@susanne
...das muss ich nich verstehen oder

@topspin
... Gott danke das is schonmal super ... aber nur fast vollständig

- ich mein du hast das ganze umrissen und den hauptgrund klargemacht mit allen bildern die dir einvielen - und du hast das sehr gut gemacht (verweis auf's orakel)

aber wenn ich nun noch die einzelheitlichen detailgenauigkeiten verstehen möcht ... fehlt da noch was

mir war so als wär da ein umgedrehtes und quadriertes delta drin
delta is eigentlich die differenz - aber in umgedreht ?

... ich wills halt wirklich wissen
... challenge and feed me

BITTTE ... DANKE Klo
Jevawty



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 10
Wohnort: Sharazul J'neld

BeitragVerfasst am: 05. Nov 2004 19:10    Titel: Antworten mit Zitat

ups .. nich eingeloggt .. aber ich war's eben
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-nietsche
Thomas
Administrator


Anmeldungsdatum: 16.02.2004
Beiträge: 479

BeitragVerfasst am: 06. Nov 2004 15:15    Titel: Antworten mit Zitat

@Susanne: Auf deine Empfehlungen geb ich nichts. Genausowenig wie auf deine Posts.

@Jevawty: Lass dich nicht von solchen Kommentaren verwirren - die sind kurze Zeit später sowieso gelöscht.

Gruß,
Thomas
fALK dELUXE



Anmeldungsdatum: 28.03.2004
Beiträge: 260
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 06. Nov 2004 16:49    Titel: Antworten mit Zitat

dieses Delta ist der LaPlacesche Differentialoperator, der bestimmt wie eine Funktion differenziert(abgeleitet) werden muss. In diesem beispiel(Schödinger gleichung) muss die Wellenfunktion Psi zweimal nach x, y und z differenziert werden.
Das umgedrehte delta heißt 'nabla' und ist wie der Laplacesche Differentialoperator ebenfalls ein Diff.-Operator, bei dem aber nicht zweimal nach x, y und z, sondern nur einmal differenziert wird. Deshalb sind der Laplacesche Differentialoperator und der Nabla-Operator² identisch.



schrödi.gif
 Beschreibung:
 Dateigröße:  3.2 KB
 Angeschaut:  13415 mal

schrödi.gif



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Jevawty



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
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BeitragVerfasst am: 09. Nov 2004 21:24    Titel: Antworten mit Zitat

dreieck mit spitze oben ist DIFFERENZ
dreieck mit spitze unten ist NABLA OPERATOR
-aber mit oder ohne quadrierung ?
x;y;z sind koordinatenkreuzgrundgeraden
was ist dann das letzte zeichen ?
und warum wird nich gekürzt

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fALK dELUXE



Anmeldungsdatum: 28.03.2004
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Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 09. Nov 2004 21:34    Titel: Antworten mit Zitat

wo willste da was kürzen?
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Jevawty



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 10
Wohnort: Sharazul J'neld

BeitragVerfasst am: 09. Nov 2004 22:02    Titel: Antworten mit Zitat

also wenn man aus den dreí brüchen einen macht sieht das so aus
(das eine zeichen ist eine umgedrehte 6 deswegen schreib ich dafür eine 6)

6²+6²+6²
--------------- =delta=nabla²
6x²+6y²+6z²


dann könnte man oben daraus 6(3[6]) machen
und unten 6(x²+y²+z²)

dann wiederrum kann man die aussenstehenden '6' wegkürzen

... allerdings weiß ich nich was '6' ist und vielleicht geht das dann nachher nich weil '6' irgendwas besonderes ist ... aber soweit meine vorstellung

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-nietsche
psycho_inc
Gast





BeitragVerfasst am: 09. Nov 2004 23:04    Titel: Antworten mit Zitat

Dreieck mit Spitze nach oben ist nicht das DETLA, sondern der LAPLACE-Operator. und das andere sind keine 6-er, sondern spiegelverkehrte 6-er und stehen für die "d"s bei den Ableitung (wie dx/dy), wobei hier die Funktion nicht f(x)=y ist - sprich nur von x abhängt und daher 1-dimensional ist -, sondern f(x,y,z) ist und von den drei Raumkoordinaten abhängt..

NABLA ist ein Vektor, bei dem die x-Komponente die Ableitung nach x, die y-Komponente die Ableitung nach y und die z-Komponente die Ableitung nach z ist.
Diese sogenannten partiellen-Ableitungen sind nicht Schulstoff, weil sie auf "etwas" andere Integrale (es gibt ja schließlich jetzt 3 Variablen Fröhlich und würden so den Matheunterricht sicher völlig unerträglich machen (außer natürlich für die, die es interessiert. sind aber nicht so viele)

für genauere Fragen empfehle ich entweder Mathebücher (für die Uni) oder einen netten Mathelehrer einfach fragen - der hat das lernen müssen smile
Jevawty



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 10
Wohnort: Sharazul J'neld

BeitragVerfasst am: 10. Nov 2004 19:11    Titel: Antworten mit Zitat

hm ... danke - das bringt mich schonmal weiter
aber ob man jetz kürzen kann weis ich immer noch nich

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topspin



Anmeldungsdatum: 05.11.2004
Beiträge: 122
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BeitragVerfasst am: 15. Nov 2004 08:46    Titel: Antworten mit Zitat

@Jevawty:
was du meinst mit "kürzen" ist, wahrscheinlich, aus dem 6²/6x² ein 6/x² zu machen, oder? du kannst deshalb nicht "kürzen" weil die ausdrücke, die da in dem laplace-operator (delta = 6²/6x² + 6²/6y² + 6²/6z²) stehen, keine brüche im sinne des wortes sind, sondern feststehende ausdrücke, die man halt einfach so schreibt wie brüche!
z.b. der term 6²/6x² meint die 2. ableitung nach x. man schreibt die dinger so, damit man sie auf beliebige funktionen anwenden kann, und schreibt dann (6²/6x²)f(x) = 6²f(x)/6x² = f''(x). formal resultiert die schreibweise aus dem quadrat der einfachen ableitung, (6/6x)² = 6²/6x², und die einfache ableitung 6/6x ist ja definiert als der grenzwert delta/delta(x) für delta(x)--->0. so, wenn du jetzt die "brüche" als differentialquotienten verstehst, d.h. quasi als rechenvorschrift "nimm die funktion rechts davon und leite 2mal nach (z.b.) x ab", dann sollte die frage nach dem kürzen beantwotert seit. geht nämlich nicht weil's keine brüche sind. ;-)

cu

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Gast






BeitragVerfasst am: 15. Nov 2004 15:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ich will hier jetzt auch mal meinen Senf dazugeben. Ich bin zwar der Meinung, daß hier (auf absehbare Zeit) keiner das Atomspektrum von Wasserstoff (zumal im Magnetfeld) aus den Postulaten der Schrödingergleichung herleiten kann, was für mich die Voraussetzung wäre, um zu behaupten, man verstehe das Atomspektrum. Andererseits, gibt es ja immer noch die Anschauung, intuitiv "logisch" ist.
Außerdem wird es auf dieser Welt nur wenige geben, der dieses Wissen für sich in Anspruch nehmen können. Mit Sicherheit nicht der Prof, bei dem ich die Klausur mit sehr guter Punktzahl bestanden habe. Das lag zum einen daran, daß er wenigstens den Rechenweg nachvollziehen können wollte und deswegen die Klausur nicht schwer sein konnte. Außerdem wollte ich die Klausur unbedingt bestehen und hab deswegen viel gelernt. Aber auch damals habe ich kurz nach den Grundlagen abgeschaltet, weil der Rechenweg für ein normalsterbliches Hirn (mit überdurchschnittlichem Matheverstand) nicht nachvollziehbar ist.

Nun zu den Grundlagen:
Normale Physik:
wenn Du wissen willst, wo ein Teilchen sich zu einem Zeitpunkt befindet mußt Du folgendes kennen:
a) den Ort zu einem beliebigen Zeitpunkt
b) die kinetische (= bewegungs) Energie das Teilchens zu diesem Zeitpunkt
c) die Kräfte, die auf das Teilchen zu einer bestimmten Zeit und an einem bestimmten Ort wirken.
Oft interessiert also die Frage nach der Energie eines Teilchens an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit. Hier kann nämlich die Bewegungsenergie und die potentielle Energie zusammengefaßt werden. [potentielle Energie? Das ist: wenn ein (fest sitzender) Gegenstand eine Kraft auf einen Körper ausübt, wird die Energie, die frei wird, wenn der Gegenstand sich diesem körper möglichst weit annähert, als potentielle Energie bezeichnet. Beispiel: Wenn ein Stein von der Erde angehoben wird so braucht man eine gewisse Energie. Die Energie wird im Stein als potentielle Energie "gespeichert" und wieder freigesetzt, wenn der Stein runterfällt.] Die potentielle Energie resultiert genau aus dem, was oben unter Punkt c) beschrieben wurde.

Die Energie eines Teilchens kann also mit

E = (1/2)mv2 + Epot angegeben werden.

mit m = Masse des Körpers, v = Geschwindigkeit des Körpers

Den Teil E = (1/2)mv2 solltet Ihr aus dem Physikunterricht kennen. Das ist die kinetische Energie. Epot ist die potentielle Energie.

So weit sollte alles bisher bekannt sein. Nun habe irgendelche Junx angefangen sich mit super kleinen Teilchen zu beschäftigen. (Atomen, Elektronen etc.) Da sind ihnen komische Sachen aufgefallen:

Diese Teilchen zeigen ein Verhalten, das normalerweise nur Wellen haben. Z.B. schickt man sie durch einen Spalt und man beobachtet, daß sie zu einem Teil nicht geradeaus fliegen. Das macht Licht ja genau so. Und das können wir als Welle beschreiben. De Broglie hat eine Gleichung dafür aufgestellt:

h = p * lambda

h ist das Planck´sche Wirkungsquantum, eine von Plank gefundene Naturkonstante. p ist der Impuls und der wiederum ist m * v. Mit lambda ist der griechische Buchstabe gemeint. Der steht für die Wellenlänge.
Das Erstaunliche hierbei ist, daß der Impuls (und damit bei konstanter Geschwindigkeit die Masse) an die Wellenlänge gekoppelt ist. Je kleiner die Masse, desto länger sind die Wellen. Bei Gegenständen, die so groß sind, daß man sie mit dem Auge sehen kann, ist die Wellenlänge so klein, daß man sie nicht beobachten kann.

Daraus folgt, daß jeder Gegenstand mit einer Welle bzw. mit einer Wellenfunktion beschrieben werden kann.

Zum anderen hat Heisenberg was heausgefunden: Je genauer wir wissen, wo sich ein Teilchen befindet, desto weniger genau können wir sagen, welche kinetische Energie es hat. (Es gilt Fehlerungenauigkeit der Ortsbestimmung * Fehlergenauigkeit der Energiebestimmung >= h/4pi)

Wie dem (superaufmerksamen) Leser vielleicht schon aufgefallen ist, hängen der Impuls p und die Energie Ekin eines Teilchens miteinander zusammen, wenn man davon ausgeht, daß sich seine Masse m konstant bleibt:

Aus Ekin = (1/2)mv2 wird mit p = m * v

Ekin = (1/2m)p2

Nach dem bisher gelernten, muß es also einen Zusammenhang zwischen Ort und Impuls geben. Der ist auch "relativ" einfach und nur dadurcgh zu begründen, daß es klappt:

px -> h/(i2Pi) d/dx

mit: Pi =3,14etc. und i = Wurzel(-1) [auch wenn´s gegen sämtliche bisher bekannte Mathematik geht, das ist mathematisch korrekt]
Der Index x (das tiefgestellte x) zeigt an, daß dies gilt, wenn man nur eine der 3 möglichen Raumrichtungen betrachtet, nämlich die x-Richtung. x (im d/dx) ist das schon bisher beschriebene und diskutierte Ableiten nach x.

Nun können wir das ganze mal in die Energiegleichung einsetzen:

aus Ekin = (1/2m)p2

wird

Ekin = (-1/2m) h2/(4pi2) (d2/dx2)

Das so komische i = Wurzel(-1) wird hier einfach zu -1. Und aus der einfachen Ableitung wird die doppelte (also 2 mal ableiten).

Jetzt fehlt nur noch das Wellenverhalten: wir kleben einfach eine Wellenfunktion (Psi, benannt nach dem griechischen Buchstaben) dran. Logischer Weise auf beiden Seiten und drehen den Kram um.

(-1/2m) h2/(4pi2) (d2/dx2) Psi = E * Psi

Wenn dann noch irgendwelche potentiellen Energien da sind, schreiben wir noch ein "+ V" auf die rechte Seite und fertig ist die Schrödingergleichung.

Das gilt nur in einer Dimension. Und wenn wir den Kram in mehreren Dimensionen machen? Dann müssen wir eine Funktion nehemen, die in allen Dimensionen definiert ist und nach allen drei Dimensionen ableiten.

Um die Schreibarbeit zu verringern ersetzen wir den ganzen Kram auf der linken Seite vor Psi durch ein H, nennen den Müll Hamiltonoperator (Operator heißt nix anderes als "Rechenvorschrift") und kommen auf das allseits beliebte H Psi = E Psi.

Jetzt ist es an der Zeit, das Ganze auf Tauglichkeit zu überprüfen:
Was müssen wir tun? Wir müssen eine Funktion finden, bei der es im einfachsten Fall (nur eine Dimension, V = 0) so ist, wo die Gleichung erfüllt ist, also irgend ein Kram mal einer zwei mal abgeleiteten Funktion ergibt dieselbe Funktion mal einem konstanten Wert. Diese Lösung ist immer mit Exponentialfunktionen zu machen. Besonders, wenn man die Eulersche Transformation von Wellengleichungen (sin, cos etc.) in Exponentialgleichungen beachtet (siehe Formelsammlung Mathematik).

Der einfachste Fall, der ein sinnvolles Ergebnis liefert, ist das "Teilchen im Kasten": Ein Teilchen (z.B. Elektron) hat ein unendlich hohes Potential V bei x < 0 mm und x > 1 mm. Das heißt, die Wellenfunktion ist begrenzt auf den Bereich x = 0 mm bis x = 1 mm. Außerdem muß beachtet werden, daß die Wellenfunktion am Rand (also x = 0 und x = 1) den gleichen Wert wie außerhalb des Bereichs hat, also 0. Alles in allem ist der einfachste Fall also nicht ganz einfach zu berechnen.

Wer nach weiteren Informationen lechtzt kann die evtl. kriegen, aber dann muß ich wirklich viel nachschauen und es mir selber wieder reinpfeifen.
Cyrion



Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 4719
Wohnort: Kölle

BeitragVerfasst am: 15. Nov 2004 15:24    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, bin schon wieder rausgeflogen (logout). Der Müll kam von mir. Bin wohl was langsam bei schreiben oder ich laber zu viuel.
topspin



Anmeldungsdatum: 05.11.2004
Beiträge: 122
Wohnort: köln

BeitragVerfasst am: 15. Nov 2004 16:23    Titel: Antworten mit Zitat

@Cyrion:
whk, köln? hast du vielleicht bei b. t. geschrieben? ;-) vielleicht kennt man sich?

cu

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Cyrion



Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 4719
Wohnort: Kölle

BeitragVerfasst am: 15. Nov 2004 17:17    Titel: Antworten mit Zitat

@ topspin

Ja klar kennt man sich. Du bist heute von Bitti angeschnautzt worden, weil Du nix vom Subway mitgebracht hast Augenzwinkern
Außerdem muß es an jeder Uni einen Omega-Prof geben. B.T. sieht ja wirklich süß aus, wenn er was erklärt, wovon er keine Ahnung hat. Besonders wenn er merkt, daß es jemand im Auditorium besser weiß. Es war eine sehr unterhaltsame Vorlesung.
iammrvip



Anmeldungsdatum: 12.10.2004
Beiträge: 73

BeitragVerfasst am: 17. Nov 2004 12:37    Titel: Antworten mit Zitat

hab mal ne frage zur schrödinger gleichung. die sieht doch in ihrer einfachsten form so aus:



genügt da die lösung??



wenn ich nämlich einsetzte:







ps: kennt jemand ein buch, in dem die schrödinger gleichung und der nabla-operator (mit allem was er so mit sich zieht [gradienten, divergenz und rotation.]) nich allzu schwer erklärt ist. wäre nett Augenzwinkern.

_________________
some interesting adresses:

www.maketradefair.com

www.oxfam.org
www.amnesty.org
Cyrion



Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 4719
Wohnort: Kölle

BeitragVerfasst am: 17. Nov 2004 15:29    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt muß ich mal selber nachdenken.

Als Erstes muß ich mal etwas dröge Mathematik vornewegschieben:

Die Schrödingergleichung in der eindimensionalen Form lautet:

(-h2/(4mPi) * d2/dx2 + V) * Psi = E * Psi

Mathematisch gesehen ist dies eine Differentialgleichung. (Differential = Ableitung) Differentialgleichungen sind definiert als Gleichungen wo auf der der einen Seite eine Funktion steht (hier Psi), die noch mal mit einem Wert (hier E) multipliziert wird, und auf der anderen Seite irgend ein Müll, der auf jeden Fall eine Ableitung der Funktion enthält (hier die zweifache Ableitung d2/dx2 Psi.)
Beim Lösen muß man nach mindestens einer Funktion suchen, die diese Gleichung erfüllt. Als Ergebnis erhält man dann mindestens einen Wert für E. Dieser Wert E (mathematisch: Eigenwert) gibt in der Schrödingergleichung die Energie des Systems an.
Differentialgleichungen lassen sich immer durch Exponentialfunktionen lösen. Für Differentialgleichungen zweiter Ordnung (d.h. DGL, wo auf der einen Seite die zweifache Ableitung und auf der anderen die Funktion selber steht) ist es am besten als Funktion das folgende einzusetzen:

f(x) = y*eix

i ist wieder dieses komische Wurzel(-1). Das markiert eine komplexe Zahl. Dafür gibt´s besondere Rechenregeln. Zu merken ist da besonders: i sthet immer vor den Zahlen oder Variablen, auf die es sich bezieht und Zahlen mit i und ohne i sollte man nicht miteinander verrechnen.
Warum wir den Kram hier einsetzen ist hier mit zwei Sachen zu begründen:
1.) Wir leiten zwei mal ab. Dann wird die Funktion beim ersten mal ableiten komplex (d.h. sie enthält komplexe Zahlen) und bei zweiten mal wieder "normal". Denn i2=-1.
2.) Der allseits beliebte Mathematiker Euler hat uns als ein göttliches Geschenk die Formel
eix = cosx + i sinx
vermacht. Und mit ein paar üblen Tricks kann man aus so was dann eine Wellenfunktion machen. (Also so was wie f(x) = a cos (bx))


Zuletzt bearbeitet von Cyrion am 18. Nov 2004 13:06, insgesamt 2-mal bearbeitet
Cyrion



Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 4719
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BeitragVerfasst am: 17. Nov 2004 15:59    Titel: Antworten mit Zitat

Um die Schrödingergleichung einfach zu machen, wird (für uns Chemiker) meist die zeitunabhängige Variante verwandt. (D.h. Psi ist keine Funktion von t, wobei t die Zeit ist).

Die einfachste Variante wäre dann:

-h2/4mPi *d2/dx2 Psi = E * Psi

Hier ist das Potential V =0.

Das kann man umformen in die Gleichung

d2/dx2 Psi = 4EmPi/h2 * Psi

mit 4EmPi/h2 = Alpha ist man Deiner Gleichung relativ nahe und erhält:

d2/dx2 Psi = Alpha * Psi

Was Du mit Deinem Rechenweg beweißt, kann ich Dir nicht sagen. Die Lösung ist aber zu allgemein, daß ein physikalisch sinnvoller Sachverhalt damit geklärt würde.


Zuletzt bearbeitet von Cyrion am 18. Nov 2004 13:09, insgesamt 2-mal bearbeitet
Cyrion



Anmeldungsdatum: 10.11.2004
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BeitragVerfasst am: 17. Nov 2004 16:19    Titel: Antworten mit Zitat

Welches Buch ich Dir dafür empfehlen kann?

Das ist schwer. (Also nicht nur das Buch, sondern auch die Beantwortung.)

Wir an der Uni haben in der Physikalischen Chemie so ´ne Art Bibel. Die wird glaub ich einigermaßen weltweit mit wechselnder Begeisterung genutzt um sich die diversen Gebiete der PC in den Kopf zu prügeln. Das Buch ist (für PC) relativ anschaulich. Dafür werden einige Sachen nicht ganz exakt behandelt. Aber um einen Überblick zu kriegen ist es ziemlich gut:

P.W. Atkins, Physikalische Chemie, 3., korrigierte Auflage (2001) Wiley-VCH Weinheim.

Wie alle Fachbücher ist es leider nicht ganz billig.

Außerdem solltest Du Dich mit dem Mathelehrer Deines Vertrauens kurzschließen und von ihm erfragen, wo Du verständliche Literatur mit Übungen über Differntiale, Differntialgleichungen, Polarkoordinaten und komplexe Zahlen kriegst.
Nicht schlecht ist ebenfalls ein kleiner mentaler Rundgang durch die physikalischen Gebiete der Mechanik (Lineare Bewegung, Rotationsbewegung und Wellenmechanik).

Ups, das ist sehr viel. Unabhängig vom Alter ist das ganze für begabte Leute mehr oder weniger schnell lernbar. Ich meinerseits habe festgestellt, daß Mathe und alles was damit zu tun hat eine Sache der ständigen Übung ist. Aber vielleicht brauchst Du ja nicht so viel wie ich.
Gast






BeitragVerfasst am: 17. Nov 2004 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

mit der mathematik hab ich keine probleme. das ist ja das schönste an der sache!! ich kann bis jetzt bloß gewöhnliche DGLen einigermaßen lösen. ich schreib jetzt auch meine belegarbeit (in der 11. klasse gym muss man sowas bei uns machen) über DGLen.

ich hatte mir eben bloß überlegen. wenn man sich z.b. die DGL nimmt (fällt mir jetzt gerade ein Big Laugh):

y'' + 2y' + 10y = 0, y = y(x)

wäre ja die charakteristsche gleichung dazu:

D2 + 2D + 10 = 0
D1/2 = -1 3i

über den ansatz, mit exp nach euler umgeformt:

y(x) = eRe(D1/2)x (cos(Im(D1/2)x) + sin(Im(D1/2))

y(x) = e-x ( cos(3x) + sin(3x) )

das wäre ja jetzt ein schöne "welle" im graphen. das könnte z.b. einer lösung der schwingungsgleichung zur gedämpften harmonischen schwingung sein.

das poblem was ich nämlich bei meiner lösung oben hab ist, das ich ja auch die exponentialfunktion komme und die nicht wirklich - eigentlich gar nicht - eine welle ergibt. leider kenn ich mich mit partielle DGLen noch nicht aus und hab einfach mal die vermutung aufgestellt. wollte bloß mal fragen, ob's stimmen könnte Augenzwinkern.
iammrvip



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BeitragVerfasst am: 17. Nov 2004 17:14    Titel: Antworten mit Zitat

mit der mathematik hab ich keine probleme. das ist ja das schönste an der sache!! ich kann bis jetzt bloß gewöhnliche DGLen einigermaßen lösen. ich schreib jetzt auch meine belegarbeit (in der 11. klasse gym muss man sowas bei uns machen) über DGLen.

ich hatte mir eben bloß überlegen. wenn man sich z.b. die DGL nimmt (fällt mir jetzt gerade ein ):

y'' + 2y' + 10y = 0, y = y(x)

wäre ja die charakteristsche gleichung dazu:

D2 + 2D + 10 = 0
D1/2 = -1 3i

über den ansatz, mit exp nach euler umgeformt:

y(x) = eRe(D1/2)x (cos(Im(D1/2)x) + sin(Im(D1/2))

y(x) = e-x ( cos(3x) + sin(3x) )

das wäre ja jetzt ein schöne "welle" im graphen. das könnte z.b. einer lösung der schwingungsgleichung zur gedämpften harmonischen schwingung sein.

das poblem was ich nämlich bei meiner lösung oben hab ist, das ich ja auch die exponentialfunktion komme und die nicht wirklich - eigentlich gar nicht - eine welle ergibt. leider kenn ich mich mit partiellen DGLen noch nicht aus und hab einfach mal die vermutung aufgestellt. wollte bloß mal fragen, ob's stimmen könnte.

ps: meine mathelehrerin hab ich schon gefragt. weil ich bei der ja auch belegarbeit schreibe. die hat mal in ihren studienaufzeichnung nachgesehen. sie hatte zu diesem thema 3 seiten aufgeschrieben! Big Laugh.

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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 13:25    Titel: Antworten mit Zitat

Zum Glück ist die Schrödingergleichung etwas einfacher. Hier haben wir nur d2/dx2 und nicht d/dx. Deswegen können wir mit komplexen Zahlen bzw. Funktionen arbeiten.

Für die einfachen Fälle wird foldende Funktion eingesetzt:

psi = Aeikx + Be-ikx

Wenn der Definitionsbereich von x = -unendlich bis + undendlich ist, dann kann für k jeder beliebige Wert eingesetzt werden. A und B werden so gewählt daß die Wahrscheinlichkeitsdichte für den gesamten Definitionsbereich = 1 ist. Die Wahrtscheinlichkeitsdichte ist so zu verstehen: Wahrscheinlichkeitsdichte * Volumen = Wahrscheinlichkeit. Also sind A und B so zu wählen, daß das Teilchen im gesamten Raum auf jeden Fall (Wahrscheinlichkeit = 1) anzutreffen ist.
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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 14:41    Titel: Antworten mit Zitat

mir ist gestern noch was eingefallen. hab's aber nicht mehr gepostet. ich hab auch wieder an den ansatz gedacht bei gewöhnlichen differenzialgleichungen gedacht. Augenzwinkern und komm auf (nach euler umgeformt):

PSI(x,t) = e-at(Acos(ax) + Bsin(ax))

klappt auch wunderbar mit ableiten Big Laugh:

PSIxx(x,t) = -a2e-at(Acos(ax) + Bsin(ax))

PSIt(x,t) = -ae-at(Acos(ax) + Bsin(ax))


PSIxx(x,t) = aPSIt(x,t)
-a2e-at(Acos(ax) + Bsin(ax)) = a(-a)e-at(Acos(ax) + Bsin(ax))
-a2e-at(Acos(ax) + Bsin(ax)) = -a2e-at(Acos(ax) + Bsin(ax))

w.A.

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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 15:49    Titel: Antworten mit Zitat

So, jetzt hab ich wieder was Zeit:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte berechnet sich nach:

Integral psi*psi für den gewünschten Bereich.

psi* ist die konjugiert komplexe Funktion von psi. D.h. alle Zahlen (oder Variablen) die kein i haben (Realteil) kriegen ein i vorne dran und alle die ein i haben (Imaginärteil) kriegen es weg. Durch die Integration fliegt dan der Imaginärteil der Funktion wieder raus.

Das Ausrechenen von A und B nennt man Normieren.
iammrvip



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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 16:00    Titel: Antworten mit Zitat

normieren kenn ich Augenzwinkern von gewöhnlichen DGLen. konjugiert komplexe funktion muss ich noch mal kurz überlegen. mir sind jetzt bloß konjugiert komplexe zahlen im kopf. meinst du so:



hab auch was gefunden:


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Cyrion



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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 16:15    Titel: Antworten mit Zitat

Nun kommt der einfachste Fall einer Translation im Nicht-Unendlichen.

Das Teilchen im Kasten (Auch Pizza-service für Bäckereiprodukte):

Man nimmt an, daß ein Teilchen sich innerhalb eines gewissen Bereiches (von 0 bis L) frei bewegen kann. Außerhalb dieses Bereiches ist V unendlich. Da kann sich das Teilchen nicht aufhalten (es ist auch kein Tunneln möglich).

Zwischen 0 un L gilt die oben genannte Gleichung. Außerhalb gilt: A und B = 0. Innerhalb des Kastens kann man die Umformaung nach Euler machen, alle Koeffizienten in die Konstanten ziehen und dann schreiben:

psi = C sin kx + D cos kx. Woraus folgt: E = k2h2 / 8mpi

Da Die Funktion von -unendlich bis + unendlich stetig sein muß, erhält man die Bedingung, daß innerhalb des Kastens bei x = 0 und x = L die Funktion ebenfalls 0 sein muß.

Da cos kx immer ungleich 0 bei x = 0 (außer, wenn k = 0 ist) folgt, daß D = 0 ist. kL muß ein ganzes vielfaches von pi sein. Daraus folgt:

kL = npi mit n = 1,2,3...

Das kennen wir ja schon aus dem Atomaufbau mit seinen Schalen. Wir haben also gerade die erste Quantenzahl "entdeckt". Die Energie des Teilchens ist also gequantelt (kann nur bestimmte Zustände einnehmen):

E = n2h2 / 8mL2

Anschaulich ist es so, also würde man in den Kasten eine stehende Welle einzeichnen.
Cyrion



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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 16:22    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich hab mich bisher bei der Angabe der Schrödi-Gl vertan. Man lernt sie normalerweise nicht mit h sondern mit ´nem h wo´n Strich durch gezeichnet ist. Das nennt man dann "h quer" und bedeutet h/2pi.

Die normale Form lautet:

(-(h quer)2/2m * d2/dx2 + V) psi = E psi

bzw mit h:

(-h2/8mpi2 * d2/dx2 + V)

Man(n) wird halt alt.
iammrvip



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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 16:41    Titel: Antworten mit Zitat

macht doch nix Augenzwinkern. danke erst mal für die ganzen infos Gott.

ps: meinst so wie hier

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Cyrion



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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 16:59    Titel: Antworten mit Zitat

Ja. Aber die halten sich mit der zeitabhängigen Schrödigl auf. Das muß man als Chemiker nicht unbedingt.
iammrvip



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BeitragVerfasst am: 18. Nov 2004 17:03    Titel: Antworten mit Zitat

ja. weil die eher von der physikalischen seite rangehen Augenzwinkern.
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